連鶴 正八面体、正二十面体
どうもAlissaです。
前回は立方体の連鶴を作りました。記事はこちらです。
とりあえず正多面体だけでも制覇しておきたいのでサクッと書いていきます。
今回は正八面体と正二十面体を作っていきます。
正八面体
まず正八面体から。正三角形8枚、12本の辺、6個の頂点で構成されている。
八面体 - Wikipedia
正八面体は立方体と双対の関係にある。
双対とは、ある立体の頂点と面を入れ替えた立体のこと。
元の立体の各面の重心を新たな頂点とし、元の面同士が接していた頂点を結んでできる立体である。
定義から、双対の立体どうしでは面と頂点の数が入れ替わり、辺の数は変わらない。
また、展開図の種類も変わらない。ここは自明ではないけど他の人に説明を委ねよう。
双対多面体 - Wikipedia
さて、いつもの通り連鶴化するために展開図を考える。
立方体では11種の展開図があったが、双対関係にある正八面体も同じく11種あり、一覧はこれ。
このサイトを参考に自分で再作成してみた。向かい合う面同士は同じ色で色付けしている。
正八面体の展開図の一覧および面や辺の対応 - 具体例で学ぶ数学
裁ち方図にする前にこれらの展開図から面削除して最適化していく。
前回隣り合う面同士は削除できないと書いた。
辺で接している面の削除は共有辺が無くなるのでNGだが、頂点で接している面も削除はできなくはないがやりたくない。
今の連鶴だと頂点=連鶴の翼の結節点なので、点どうしを辺の重ね折りで表現するのは無駄が多い。
ということで、辺でも頂点でも隣り合っていない面の組を探すことにする。
正八面体だと1つの面に対して、辺で接する面は3つ、頂点で接する面は3つある。
つまり、1つ目の削除面を選んだ後、その面と全く接していない次の削除面の候補は向かい合う面しか残っていない。
先ほどの展開図で同じ色を付けた面同士であれば同時に削除可能ということになる。
①～⑥は黄色の面が削除できて、削除後は全て同じ形に行き着く。綺麗に一列に並んでいる。
前回の記事で書いた通り、元の頂点数は6で、三角形を2枚削除しているので、
重ね折りの本数は本。
⑦、⑧、⑩、⑪は同色2面が同時に削除できないので端っこのいずれか1面までの削除になるが、どれを削除してもイマイチ対称性が良くないので使いたくない。
⑨も同じく削除できるのは1面までではあるが、左下の青を削除すると120°の回転対称性があって良い感じ。
こちらの重ね折りの本数は本。
ということで候補として①～⑥または⑨の2つに絞る。
裁ち方図にするには、正四面体のときと同じく菱形鶴を使って、
1つ目
菱形の一辺の長さをとすると、全体の大きさは縦：
、横：
2つ目
同じく縦：、横：
前回の立方体と違ってどちらも紙からの切り出しがそこまで単純ではなく、全体の大きさも大差ないので、重ね折りが少ない1つ目の裁ち方図で作る。
長方形に近い紙を用意できないときに2つ目の裁ち方図がいいかもしれない。
これは以前作ったことがあるので、完成形はその時の写真を流用することにしよう。
奥行きもあって静止画だと伝わりづらいが、全12羽がちゃんとつながっている。
正二十面体
続いて、形が似ている正二十面体も同じ記事で扱う。正十二面体は形が特殊なので次回に回すことにする。
正二十面体は正八面体と同じく構成している面は正三角形だが面の数が20枚に増え、辺は30本、頂点数は12になる。
正二十面体 - Wikipedia
では今回もこれまで通り展開図から裁ち方図を考えようか…とすると大変なことになる。
展開図の種類が正四面体が2種、立方体と正八面体が11種だったのに対し、正二十面体ではなんと43,380種もある。
一気に増えすぎてこれではさすがに展開図全数を調べて最適解を探すのは途方もない時間がかかってしまう。
それに、大抵最初の展開図の時点で対称性が高くないと、面削除をしてもきれいな形にならない可能性が高い。
これより複雑な立体は基本的に、最初の展開図にあたりをつけてスタートしていく必要がありそうである。
正二十面体の展開図で最も単純なのはこの形。というよりこれ以外の形はググっても全く見かけない。
正八面体のときと同じように、向かい合う平行な面を同じ色で10色に塗り分けている。
ここから面削除できる数を数えていこう。
正二十面体のある1面に接する面の数は、辺で接する3つ、頂点で接する6つ、合わせて9つある。(=この9面は削除不可)
例えば上段真ん中の緑の三角形を選んだ場合、緑に接する9つの面は上段の残りの4面と、中段のグレー〜ピンクの5面となる。（×がついている面）
このとき、自身の1色と接する面9色で各1色ずつ全ての色を使っているところが特徴である。
これはどの色の面を最初に選んでも必ず成り立つ。
つまり次の削除候補も各1色ずつ10面あり、色の過不足はない。
さて、次の削除に例えば下段の赤を選んだとして、残りは下のようになるのだけど、
残りの中段黄緑～ピンクの4面の内もう1面削除できそうなのだが、いずれの4面も「共有辺1つ、残りが重ね折り辺」の条件（端的に言うと、端っこで浮いている面）を満たさないため削除できない。このままではうまくいかない。
元の展開図の右端のオレンジを、緑に接するように移動してやれば、ピンクが浮いて削除はできるようになるのだが、
いかんせん削除後の展開図が綺麗にならない。（裁ち方図にすると明確に紙面のロスが増える）
つまり、理論上は3面まで削除可能だが、そのためには展開図を対称性が低い形に変形する必要があるため、やりたくない操作であると言える。
ただし、無理して3面削除したところで重ね折りの本数が明確に変わるわけでもない。
なので、収まり重視で2面削除で妥協してこの形にする。
上下段の削除する面はどれを選んでもよい。
この場合の重ね折り本数は、元の頂点数12、三角形を2枚削除しているので、
重ね折りの本数は本。
裁ち方図
正二十面体も正八面体と同じく昔作った時と変わっていないのでその時の写真を使おう。
立体が大きくなってくると自重で潰れてしまいがちだが、
ちゃんと正二十面体だとわかりやすい形に落ち着いているのでかなり気に入っている。
まとめ
過去の作品を使うだけで執筆するためのカロリーが激減しました。
わかってはいましたが作品作って写真撮っての部分に時間がかかっているので、整合性とれる範囲で過去の自分にかまけて省エネしていきたいですね。
以上で今回の記事は終わりになります。ここまで読んでくださりありがとうございました。
